Gaiko ariketak

1.- Sortu balioen taula bat zehaztutako funtzioarentzat x-ren balioak ondokoak izanda:

0,8; 0,9; 1,1 eta 1,2.

Eskatutako taula ondokoa da:

x	0,8	0,9	1,1	1,2
f(x)	2,4	2,7	2,1	2,2

2.- Sortu balioen taula bat azpiko funtzioarentzat x-ren balioak ondokoak izanda:

1,8; 1,9; 2,1 eta 2,2.

Funtzioa f(x) = x² da.

Eskatutako taula ondokoa da:

x	1,8	1,9	2,1	2,2
f(x)	3,24	3,61	4,41	4,84

--------------------------------------------------------------------------------

3.- dela jakinda, kalkula ezazu .

Limiteen arteko biderkadura eta biderkaduraren limitea berdinak direla jakinda, eta denez, ondokoa dugu:

4.- dela jakinda, kalkula ezazu .

_{Zatiduraren limitea eta limiteen arteko zatidura berdina dela jakinda, izendatzailearen limitea nulua ez bada zera dugu:}

zeren baita.

5.- Kalkulatu funtzioaren balioa x aldagaiarenak ondokoak izanda:

Balioen ondoko taula aterako zaigu:

x	5/4	6/5	7/6	8/7
f(x)	5	6	7	8

6.- Kalkula itzazu ondoko limiteak:

a) ; b) .

a) Limiteen propietateak erabiliz kalkulatuko dugu lehen limitea:

.

b) Aurreko atalean bezala:

.

----------------------------------------------------------------------

7.- Kalkula itzazu funtzioaren asintota bertikalak.

denez:

.

Horrela, f-ren asintota bertikalak x = -1 eta x = -2 direla ondorioztatuko dugu zeren:

8.- Bila itzazu funtzioaren asintota zeiharrak.

egiaztatuko da.

Horrez gain,

.

Beraz, asintota zeihar bat izango da jotzen duenean.

ere asintota zeiharra dela froga daiteke, jotzen duenean.

9.- Kalkula ezazu .

5. mailako bi polinomioren arteko zatidura da funtzioa: x⁵ eta x⁵ + x³ + x² + 1 polinomioen artekoa hain zuzen. Beraz, maila handieneko gaiei dagozkien koefizienteen arteko zatidura da limitea, hots, 1.

10.- Kalkula itzazu ondoko funtzioaren asintotak:

.

Funtzioak bi asintota bertikal izango ditu; x = 3 eta x = -3, balio horientzat izendatzailea anulatu egiten delako, hain zuzen.

Horrez gain, x-k infiniturantz jotzen duenean funtzioak x-ren portaera berdina du. Horrexegatik f-k, y = x + a motako asintota zeiharra izan dezake.

Kenketa egin eta limitea hartuz gero:

.

Beraz, f-ren asintota zeiharra da y = x + 1 zuzena.

11.- Kalkulatu ondoko funtzioaren asintotak:

.

h(x) funtzioan eragiketak eginez gero zera dugu:

.

Beraz, h(x) funtzioak x = –2 puntuan asintota bertikala du.

Horrez gain,

.

Horregatik, y = x + a motako asintota zeiharra eduki dezake f-k funtzioak x ® +¥ jotzen duenean. a-ren balioa kalkulatzeko:

Hau da, y = x – 6 da h(x) funtzioaren asintota zeiharra plus eta minus infiniturentzat.

----------------------------------------------------------------------------

12.- Kalkula ezazu ondoko limitea: .

Zenbakitzailea faktorizatuz gero:

Beraz,

.

13.- Kalkula ezazu .

Zenbakitzailea faktorizatuz gero:

Beraz,

.

----------------------------------------------------------

14.- Kalkulatu .

Adierazpena konjugatuarekin biderkatuz eta zatituz:

.

Zenbakitzailean eta izendatzailean x faktore komuna ateraz gero zera dugu:

,

zeren baita.

15.- Kalkulatu .

Adierazpena konjugatuarekin biderkatuz eta zatituz:

.

x² faktore komuna atera ondoren zera dugu:

da eta.

16.- Kalkulatu ondoko limitea: .

motako indeterminazioa da.

17.- Bilatu ondoko funtzioaren limitea x ® ¥ jotzen duenerako:

.

Funtzio hori ¥ - ¥ motako indeterminazioa da. Adierazpena konjugatuarekin biderkatu eta zatituz gero ondokoa dugu:

Hau da,

.

18.- Kalkulatu ondoko limitea a parametroaren arabera:

L(a) indeterminazioa 1^¥ motakoa da.

izanda ondokoa idatz dezakegu;

Kortxetearen barruan dagoenak e zenbakia du limitetzat eta berretzailearen limitea a - 1 da. Beraz, limitea e ^a-1 da denean.

a = 1 bada ez dago indeterminaziorik. Oinarria zehazki 1 da eta limitea, beraz, 1 izango da (kasu horretan e ^a-1 adierazpenarekin bat dator). Limitea kasu guztietan da e ^a-1, alegia.

19.- Kalkulatu, existitzen denerako, ondoko limitea:

.

A > 0 suposatuta zera dugu:

.

Beraz,

· A < 1 bada,

· A > 1 bada, .

Kasu bietan ez dago indeterminaziorik H(A) adierazpenarentzat. A = 1 bada, 1^¥ motako indeterminazioa izango dugu ondoko eran ebatziko dugularik:

dela erabili dugu, denean.

Era horretan:

20.- Eriden a-ren balioa ondoko berdintza bete dadin:

.

Baldin bada f(x) funtzioak ondoko limitea izango du infinituan:

Limitea 3 izan dadin izango da, edo a = ln 3.

***21.- eta funtzioak emanda, bila itzazu a eta b parametroen balioak bi funtzio horiek limite berdina izan dezaten infinituan.

Razionalizatuz gero:

Beraz, b-ren balioa aurkitu beharko dugu non izango den.

izanda ondokoa dugu:

,

eta horrexegatik,

bete behar denez, logaritmoak hartuz gero:

.

---------------------------------------------------------------------------------

22.- Bilatu a-ren balioa ondoko funtzioak limitea izan dezan puntu guztietan: