Gaiko ariketak
1.- Aurkitu a-ren balioa 
jarraitua izan dadin
puntu guztietan.
x
2rako funtzioa jarraitua da, polinomikoa delako.
x = 2rako
funtzioak 4 – a balio du; ondorioz, f jarraitua izan dadin x = 2rako, albo-limiteek bat etorri eta
4 – a balio beharko dute.
Zera dugu:
Beraz, 
bete beharko da eta,
ondorioz, 
, hau da, a = 1
edo, bestela, a = -2.
2.- Frogatu, definizioa erabiliz, f(x) = x(x + 2) funtzioa jarraitua dela x
= 1 puntuan.
f(1) = 3
denez, 
jotzen duenerako f(x)
–3 adierazpenak 0ra jotzen duela frogatu beharko dugu.
.
hartzen badugu,
orduan, 
etik 
egongo dela esan
dezakegu eta, ondorioz, 
.
Horrela, 
emanda, 
hartuko dugu, eta 
bada, orduan, 
izango da. Horrek
frogatzen du f jarraitua dela x = 1erako.
3.- Aurkitu a eta b-ren balioak 
funtzioa jarraitua
izan dadin 
osoan.
x = -1 puntua
aztertu beharra dago; gainerako puntuetan funtzioa jarraitua da eta.
Albo-limiteak
ondokoak dira:
.
Gainera, f(-1)
= -1 + a – b. f jarraitua
izan dadin –1 puntuan, orduan, -1 + a – b
= b – a izan behar, hau da, a = 
+ b.
4.- Aztertu zuzen errealeko zein puntutan den jarraitua funtzio hau:
Faktorizatuz:
..
Beraz, 
.
f(2) = 0
denez, f ez da jarraitua x =
2rako.
Gainerako puntuetan f jarraitua da. Izan ere, bi funtzio
jarraituren arteko zatidura da, eta izendatzailea ez da inoiz anulatuko.
5.- Aztertu a eta b-ren zein baliotarako den jarraitua funtzio
hau:
g funtzioa
jarraitua da 
diren puntu guztietan. Gainera,
g(0) = 1 + b.
bada, orduan:
.
bada, orduan: 
.
Hau da, edonola ere, 
.
Gainera, 
.
Beraz, x = 0rako funtzioa jarraitua izateko, 
berdintza bete
beharko da.
6.- 
funtzioa emanda,
aurkitu a-ren zein baliotarako den f
jarraitua 0 puntuan.
f-ren
albo-limiteak kalkulatuko ditugu 0 puntuan:
, zeren eta, 10. ariketan ikusi dugunez, 
da.
Gainera,
.
Beraz, 1 – a = 0 izan behar, alegia, a = 1.
7.-
Frogatu, segiden bidezko
jarraitasunaren karakterizazioa erabiliz,
funtzioak
etena duela 0 puntuan a-ren
edozein baliotarako.
Funtzioak ez du limiterik x = 0rako; ondorioz, a-ren balioa dena dela, g funtzioa ez da jarraitua izango x =
0rako.
x
=
0rako g(x)-k ez duela limiterik
ikusteko, segiden irizpidea erabiliko dugu; eta 
segidaz baliatuko
gara.
Segida horrek ondoko
baldintzak betetzen ditu:
edozein n-rako.
Bestaldetik,
hartzen badugu, orduan,
8.- Aztertu a-ren zeintzuk baliotarako izango den
jarraitua ondoko funtzioa 3 puntuan:
da; ondorioz, 
.
Horrela, 
Hau da, f(x)
jarraitua da baldin eta soilik baldin a
= 2 bada.
edozein n-rako.
Beraz, 
segidek zerorantz
jotzen dute, baina 
da eta 
.
Hortaz, g funtzioak ez du limiterik x = 0rako.
9. Definitu
zuzen erreal osoan jarraitua den funtzio bat, x = 3rako izan ezik, x = 3
punturako albo-limiteak izango dituena, nahiz eta albo-limite horiek berdinak
ez izan.
Infinitu soluzio
daude. Esaterako, 
funtzioak eskatutako baldintzak betetzen ditu.
Beste adibide bat
litzateke 
10.- Aurkitu a eta f(0)-ren balioak 
funtzioa jarraitua izateko 
osoan.
Beste.
ariketatik badakigu 
dela.
Bestaldetik,
.
Gainera,
.
Beraz, a = 
eta f(0) = 
hartu behar dira.
11.- a eta b zenbaki positibo bi
dira. Aztertu 
funtzioaren
jarraitasuna 0 puntuan.
f(0) = 1 eta 
ditugu.
Beraz, 
bete beharko da.
Bestalde, a eta b ez direnez 0, zera esan dezakegu:
.
Hau da, 
bete beharko da; eta
hortik, a = b.
12.- Aztertu 
funtzioaren balizko
etenguneak.
Etenguneetan 1 + cos x = 0 egiaztatuko da, 
-rako. Hau da, 
balioetan etenguneak
daude, n osoa izanda.
Segiden eta
jarraitasunaren irizpidea erabiliz, aipatutako puntuetan ez dagoela funtzioaren
limiterik egiaztatuko dugu.
Gainerako puntuetan
funtzioa jarraitua da.
13.- 
definitu dugu.
Aurkitu a > 0ren balioak f
jarraitua izateko 
osoan.
Albo-limiteak x = 0 puntuan ondoko hauek dira:
.
Beraz, 
berdintza bete
beharko da. Ekuazio horren soluzioak a
= 1 eta a = 
dira. 
puntuan zera dugu:
.
Horren ondorioz, 
puntuan (edozein a > 0 punturentzat) jarraitasunaren
baldintza beteko da. Hau da, f
jarraitua izango da zuzen erreal osoan baldin eta soilik baldin a = 1 edo a = 
bada.
14.- Aurkitu a eta b-ren balioak 
funtzioa jarraitua
izan dadin 
osoan.
x = -1 puntua
aztertu beharra dago; gainerako puntuetan funtzioa jarraitua da eta.
Albo-limiteak
ondokoak dira:
.
Gainera, f(-1)
= -1 + a – b. f jarraitua
izan dadin –1 puntuan, orduan, -1 + a – b
= b – a izan behar, hau da, a = 
+ b.
15. Aztertu
zuzen errealeko zein puntutan den jarraitua funtzio hau:
Faktorizatuz:
..
Beraz, 
.
f(2) = 0
denez, f ez da jarraitua x =
2rako.
Gainerako puntuetan f jarraitua da. Izan ere, bi funtzio
jarraituren arteko zatidura da, eta izendatzailea ez da inoiz anulatuko.
16.- Frogatu 
ekuazioak baduela,
gutxienez, soluzio erreal bat.
bada, orduan f jarraitua da puntu guztietan. Gainera,
f(0) = 1 – 0 = 1 > 0 eta
betetzen da.
Beraz, f jarraitua denez 
tartean, Bolzanoren
teoremaren arabera, 
bitarteko balioa
existituko da, f(c) = 0 izanik.
17.- f eta g bi funtzio jarraitu
dira [a, b] tartean. Demagun, ondoko desberdintzak betetzen dituztela:
f(a) < g(a) eta f(b)
> g(b).
Frogatu
balio bat, gutxienez,
existitzen dela f(c) = g(c) beteko duena.
h(x)
= f(x) – g(x) funtzioa, jarraitua
[a, b] tartean, definituko dugu.
Gainera,
h(a)
= f(a) – g(a) < 0 eta h(b) = f(b)
– g(b) > 0
Bolzanoren teoremaren
arabera, 
puntua existituko da h(c)
= 0 beteko duena; hau da, 0 = f(c) – g(c), edo beste modu batera esanda, f(c)
= g(c).
__________________________________________________________________
18.- f funtzioa jarraitua da [0, 1] tartean eta, gainera, edozein 
baliorako, 
da.
a)
Frogatu existitzen dela 
balio bat, gutxienez,
f(c) = c beteko duena.
b)
Frogatu existitzen dela 
balio bat, gutxienez,
f(d) = 1 – d beteko duena.
a) h(x) = f(x) – x
funtzioa, jarraitua [0, 1] tartean, definituko dugu.
f(0) = 0 bada, orduan, c = 0-k beteko du eskatutakoa.
f(1) = 1 bada, orduan, c = 1ek beteko du eskatutakoa.
bada, orduan,
hipotesiaren arabera:
h(0) = f(0)
– 0 > 0 eta h(1) = f(1) –1 < 0.
Beraz, kasu
horretan 
existituko da, h(c)
= 0 izanik; edo gauza bera den beste
hau: f(c) = c.
Hau da,
edozelan ere 
existituko da, f(c)
= c izanik.
b) g(x) = f(x) –1 funtzioa erabilita, aurreko
ataleko modu berean argudiatuko dugu, eta zera ondorioztatuko dugu:
existitzen dela non 0 = g(d) = f(d) – 1 + d 
f(d) = 1 – d.
19.- Frogatu badagoela x-ren balio erreal bat, gutxienez, 