9. GAIA

- INTEGRAL MUGATUA -

Gaiko ariketak

1.- Eriden f(x) = x² funtzioari I = [-1, 2] tartean dagokion Riemann-en behe-batura partiziorako.

f(x) = x² funtzioaren adierazpen grafikoa ondokoa dugu:

Partizioak eragindako azpitarteak eta azpitarteotan funtzioak hartzen dituen maximoak eta minimoak ondokoak dira:

Azpitartea	Minimoa	Maximoa
I₁= [-1, 0]	m₁= 0	M₁= 1
I₂= [0, 1]	m₂= 0	M₂= 1
I₃= [1, 2]	m₃= 1	M₃= 4

Eta hortik, behe-batura hauxe da: L(P, f) = 1 0 + 1 0 + 1 1 = 1.

2.- f(x) = x² funtzioa, I = [-1, 2] tartea eta partizioa ditugu. Kalkulatu f(x) funtzioari I tartean dagokion Riemann-en goi-batura P partiziorako.

Aurreko ariketatik aterako ditugu P partizioak I tartean eragindako azpitarteak eta berauetan f(x) funtzioak hartzen dituen balio maximoak:

I₁= [-1, 0], M₁= 1; I₂= [0, 1], M₂= 1; I₃= [1, 2], M₃= 4.

Eta hortik, goi-batura: U(P, f) = 1 1 + 1 1 + 1 4 = 6.

3.- Zehaztu f(x) = x² funtzioari I = [-1, 2] tartean dagokion Riemann-en behe-batura partizioaren arabera. Ondoren, lehenengo ariketako emaitzaz konparatu.

Partizioak eragindako azpitarteak eta funtzioak azpitarteotan hartzen dituen balio minimoak ondokoak ditugu:

I₁= [-1, 0], m₁= 0; I₂= [0, 1], m₂= 0; I₃= [1, 1,5], m₃= 1; I₄= [1,5, 2], m₄= 9/4.

Eta behe-batura: .

Lehenenengo ariketan atera dugun behe-batura baino handiagoa.

4.- Kalkulatu f(x) = x² funtzioari [-1, 2] tartean dagokion Riemann-en goi-batura partiziorako eta konparatu emaitza 2. ariketan ateratako emaitzarekin.

Partizioak eragindako azpitarteak eta funtzioak azpitarteotan hartzen dituen balio maximoak ondokoak ditugu, kasu honetan:

I₁= [-1, 0], M₁= 1; I₂= [0, 1], M₂= 1; I₃= [1, 1,5], M₃= ; I₄= [1,5, 2], M₄= 4.

Eta goi-batura: U(Q, f) = 1 1 + 1 1 + .

2. ariketako goi-batura baino txikiagoa.

5.- Aurkitu L(Q, f) eta U(Q, f) behe eta goi-baturak f(x) = 1 + x² izanik eta . Konparatu emaitzak lehenengo adibidekoekin.

Q partizioak eragindako azpitarteak eta f(x) funtzioak azpitarteotan hartzen dituen balio minimoak eta maximoak ondokoak ditugu:

I₁= [-1, -0.5], m₁= 5/4, M₁= 2; I₂= [-0,5, 0], m₂= 1, M₂= 5/4; I₃= [0, 0,5], m₃= 1,

M₃= 5/4;

I₄= [0,5, 1], m₄= 5/4, M₄= 2; I₅= [1, 1,5], m₅= 2, M₅= 13/4; I₆= [1,5, 2], m₆= 13/4,

M₆= 5.

Gainera azpitarte guztien luzera da; orduan, behe eta goi-baturak ondokoak ditugu:

Behe-batura, , lehenengo adibidean ateratako behe-batura baino handiagoa da. Goi-batura ordea, lehenengo adibidean atera genuen goi-batura baino txiakiagoa. Beraz, ariketa honetako Q partizioak eragindako behe eta goi-baturak lehenengo adibideko P partizioak eragindakoak baino hobeak dira, Q partizioa finagoa baita, puntu gehiagoz osatua.

6.- Bigarren adibideko f(x) = x funtzioari dagozkion L(P₅, f) eta U(P₅, f) kalkula itzazu.

P₅ partizioak I = [0, 1] tartea 5 zati berdinetan zatitzen du, zati bakoitzaren zabalera 1/5 delarik. Behe eta goi-baturak, beraz, ondokoak izango dira:

7.- Kalkulatu funtzioek lehen koadrantean mugatzen duten esparruaren azalera.

Zelan kalkulatu? ekuaziodun kurbaren azpitiko azalerari y = x² funtzioaren azpitik sortutako azalera kenduz, hau da:.

8.- Eriden funtzioek lehenengo koadrantean mugatzen duten esparruaren azalera.

y = x^1/3 funtzioaren azpitiko azalerari y = x³ funtzioaren azpitikoa kenduz kalkulatuko dugu azalera,, hau da:

9.- Idoro funtzioek mugatzen duten azalera lehenengo koadrantean.

7. eta 8. ariketak orokortu nahi ditugu ariketa honen bidez. Bi funtzioek x = 0 eta x = 1 abszisadun puntuetan ebakitzen dute elkar eta y = x^1/n funtzioa y = xⁿ funtzioaren gainetik dago, orduan, azalera ondokoa da:

Emaitzaren interpretazioa: n handia hartuz gero, azalera 1etik hurbil dago, aldearen neurria unitate 1ekoa duen karratuaren azaleratik hurbil; izan ere, y = xⁿ eta y = x^1/n karratu hori izatera baitoaz n haziz doan neurrian. Alboko irudian y = x¹⁰ eta y = x^1/10 ipini ditugu esandakoaren adibide gisa.

10.- Eriden funtzioak OX ardatzaren inguruan biratzen duenean sortutako gorputzaren bolumena izanik.

Bolumena ondoko formula honek emango digu:

Zatika integratuko dugu:

zatikako integrazioaren formula aplikatuz:

Ostera ere zatika integratuz:

Ondokoa aterako dugu:

11.- Bilatu funtzioak OY ardatzaren inguruan biratzean sortutako gorputzaren bolumena izanik.

Bolumena ondoko formulak emango digu:

Jatorrizkoaren bila zatikako integrazioaren bidez abiatuko gara:

Zatikako integrazioaren formula aplikatuz:

Ostera ere zatika integratuko dugu:

eta hortik:

Barrow-ren formula aplikatuz:

12.- Froga ezazu, integralen bidez, ondoko desberdintza:

funtzioa balioen artean integratuko dugu:

Baina integrala oinarritzat (1, 0) eta puntuak lotzen dituen segmentua eta altueratzat unitatea duen karratuaren azalera baino txikiagoa da; eta hori zelan idatziko dugu?:

eta hortik:

frogatu nahi genuenez.

Unitatearen amaierako ariketak

1.- f(x) = x³ funtzioa, I = [0, 4] tartea eta partizioa ditugu. Aurki itzazu L(P, f) eta U(P ,f) baturak.

f(x) = x³ funtzioa gorakorra denez [0, 4] tartean, azpitarteen behe eta goi-muturretan hartuko ditu minimoak eta maximoak hurrenez hurren; beraz, ondokoak lirateke partizioak eragindako azpitarteak eta berauetan funtzioak hartzen dituen maximoak eta minimoak:

I₁= [0, 1], m₁= f(0) = 0, M₁= f(1) =1; I₂= [1, 2], m₂= f(1) = 1, M₂= f(2) = 8;

I₃= [2, 3], m₃= f(2) = 8, M₃ = f(3) = 27; I₄= [3, 4], m₄= f(3) = 27, M₄= f(4) = 64.

Azpitarte guztien zabalera 1 denez, behe eta goi-baturak ondokoak ditugu:

L(P, f) = 1 0 + 1 1 + 1 8 + 1 27 = 36; U(P, f) = 1 1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 = 100.

2.- Idoro integral mugatua.

Lehendabizi integrakizuneko funtzioaren jatorrizko bat bilatzeari ekingo diogu zatikako integrazioaren bidez:

Metodoa aplikatuz ondokoa daukagu:

Ostera ere zatika integratuz:

Eta hortik,

3.- Kalkulatu x = 1 zuzenak eta y = x² eta y = 8/x kurbek mugatzen duten esparruaren azalera.