Gaiko ariketak

1.- Egiaztatu funtzioak Rolle-ren teoremaren hipotesia betetzen duela [-1, 2] tartean eta kalkulatu c puntua.

Funtzioa deribagarria da R-n eta gainera f(-1) = 0 = f(2). Beraz, existitzen da bitarteko puntu bat

Deribatzerakoan ondokoa lortuko dugu: eta funtzio horren zeroak dira x = 1 eta x = -1.

Eskatutako puntua c = 1 da, -1 < 1 < 2 delako.

2.- Egiaztatu funtzioak Rolle-ren teoremaren hipotesia betetzen duela [0,1] eta [1,2] tarteetan eta kalkulatu c puntua kasu bakoitzean.

Funtzioa deribagarria da R-n; beraz, Rolle-ren teorema aplikatu ahal izango dugu edozein tartetan.

Lehenengo tartean ondokoa lortuko dugu:

denez, ondokoa lortuko dugu:

Bigarren tartean:

3.- Erabili tarteko balioaren teorema, ahal bada, funtzioan [a, a+h] tartean eta kalkulatu c puntuari dagokion balioa.

Funtzioa deribagarria da edozein x > 0-rentzat. Suposatzen da a > 0 eta h > 0 direla. Beraz, tarteko balioaren teorema aplikatzerakoan ondokoa lortuko dugu:

Gainera, denez , ondokoa dugu:

.

Razionalizatzen badugu eta karratura jaso, ondokoa lortuko dugu:

4.- Erabili tarteko balioaren teorema, ahal bada, funtzioan [n, n+1] tarteetan (n zenbaki arrunta izanda) eta kalkulatu c puntuari dagokion balioa.

Funtzioa deribagarria da tarte guztietan, gainera Beraz,

izanda.

Hau da,

5.- Erabili tarteko balioaren teorema, ahal bada, funtzioarentzat [2, 5] tartean eta kalkulatu c puntuari dagokion balioa.

Funtzioa deribagarria da R-n; beraz, tarteko balioaren teorema aplikatu ahal izango da. Ondokoak beteko dira:

.

Tarteko balioaren teorema aplikatuz, existituko da non honako hau beteko den:

6.- Erabili tarteko balioaren teorema, ahal bada, funtzioarentzat [a, a+h] tartean eta kalkulatu c puntuari dagokion balioa a eta h-ren arabera.

Funtzio esponentziala deribagarria da R-n; gainera .

Tarteko balioaren teoremak ziurtatzen du existitzen dela non:

beteko den. Eragiketak egiten baditugu:

7.- Erabili tarteko balioaren teorema ondoko limitea kalkulatzeko:

funtzioa deribagarria izango da x > 0 bada; beraz, tarteko balioaren teorema aplikatu ahal izango zaio aurreko funtzioari baldin eta x > 5 bada.

Tarteko balioaren teorema aplikatuko diogu aurreko funtzioari [x-5, x+5] tartean (x > 5 izanik); beraz, existituko da non:

beteko den

Beste alde batetik badakigu dena; beraz, izango da, non baita. Beraz, ondoko desberdintza lortuko dugu:

Beraz, 0-ra jotzen duten bi funtzioek bornatuko dute aurreko adierazpena doanean. Sandwich legea aplikatuta limitea 0 dela ondorioztatuko dugu.

8.- Erabili tarteko balioaren teorema ondoko limitea kalkulatzeko:

Aurreko ariketan egin dugun modura:

Beraz, ondokoa lortuko dugu:

Eta hortik ondorioztatzen da limitea 5 dela muturreko adierazpenen limitea 5 delako.

**9.- Erabili tarteko balioaren teorema ondokoa frogatzeko: x > 0 bada orduan

dela.

Biz funtzioa, orduan demostratu behar duguna da x > 0 baldin bada orduan h(x) positiboa dela.

Funtzioa deribagarria da baldin eta x > 0 bada; gainera, .

Beste alde batetik

Beraz aplikatzen badugu tarteko balioaren teorema [0, x] tartean ondokoa lortuko dugu:

.

Baina, hipotesiak esaten du x > 0 dela; beste alde batetik ; hortik

; beraz, .

Gaiko ariketak(II)

1.- Aztertu ondoko funtzioaren gorapen eta beherapen tarteak:

Funtzioa polinomikoa denez, deribagarria da R-n; beraz, deribatuaren ikurrak aztertu beharko ditugu.

Deribatua da. Ondokoa beteko da:

f’(x)

Beraz, funtzioa gorakorra da (-¥, -1] eta [1, ¥) tarteetan eta beherakorra, [-1, 1] tartean.

2.- Aztertu ondoko funtzioaren gorapen eta beherapen tarteak:

Funtzioa deribagarria izango da logaritmoaren argumentua positiboa bada. Logaritmoaren argumentuak ondokoa betetzen du: .

Beraz, katearen erregela aplikatuta, ondokoa lortuko dugu:

Beraz, gorakorra da (0, ¥) tartean eta beherakorra (-¥, 0) tartean. x = 0 puntuan minimoa dago.

3.- Aztertu ondoko funtzioaren ahur eta ganbiltasun tarteak eta bilatu funtzioaren inflexio-puntuak: .

Funtzioa bi aldiz da deribagarria R-n. Gainera:

Beraz, ondokoa beteko da:

Beraz, funtzioa ganbila da tartean eta ahurra tarteetan. Inflexio-puntuak hauek dira:

4.- Bilatu ondoko funtzioaren mutur erlatiboak: .

Hasteko lehenengo deribatua zein puntutan anulatzen den aztertuko dugu bigarren deribatuaren teorema aplikatzeko.

Ondokoa lortuko dugu:

.

Lehenengo deribatuaren zeroak hauek dira: .

Beraz, badaude infinitu puntu non lehenengo deribatua zero den. Hauexek dira:

Puntu horietan bigarren deribatua honako hauxe izango da:

.

Beraz, k bikoitia bada, puntuak minimoak dira bigarren deribatua positiboa delako; eta k bakoitia bada, puntuak maximoak dira.

5.- Erabili tarteko balioaren teorema, ahal bada, funtzioarentzat [2, 5] tartean eta kalkulatu c puntuari dagokion balioa.

Funtzioa deribagarria da R-n; beraz, tarteko balioaren teorema aplikatu ahal izango da. Ondokoak beteko dira:

.

Tarteko balioaren teorema aplikatuz, existituko da non honako hau beteko den:

6.- Erabili tarteko balioaren teorema, ahal bada, funtzioarentzat [a, a+h] tartean eta kalkulatu c puntuari dagokion balioa a eta h-ren arabera.

Funtzio esponentziala deribagarria da R-n; gainera .

Tarteko balioaren teoremak ziurtatzen du existitzen dela non:

beteko den. Eragiketak egiten baditugu:

7.- Erabili tarteko balioaren teorema ondoko limitea kalkulatzeko:

funtzioa deribagarria izango da x > 0 bada; beraz, tarteko balioaren teorema aplikatu ahal izango zaio aurreko funtzioari baldin eta x > 5 bada.

Tarteko balioaren teorema aplikatuko diogu aurreko funtzioari [x-5, x+5] tartean (x > 5 izanik); beraz, existituko da non:

beteko den

Beste alde batetik badakigu dena; beraz, izango da, non baita. Beraz, ondoko desberdintza lortuko dugu:

Beraz, 0-ra jotzen duten bi funtzioek bornatuko dute aurreko adierazpena doanean. Sandwich legea aplikatuta limitea 0 dela ondorioztatuko dugu.

8.- Erabili tarteko balioaren teorema ondoko limitea kalkulatzeko:

Aurreko ariketan egin dugun modura:

Beraz, ondokoa lortuko dugu:

Eta hortik ondorioztatzen da limitea 5 dela muturreko adierazpenen limitea 5 delako.

9.-L luzera duen lamina karratuarekin taparik gabeko kaxa bat egin nahi dugu. Horretarako, erpinetatik karratutxo batzuk ebaki behar ditugu. Kalkulatu ebaki dugun karratutxoaren aldeak zenbateko neurria izan beharko duen kaxaren bolumena maximoa izan dadin.

L

x

x deituko diogu karratutxo bakoitzaren aldeari. Kaxaren altuera x izango da eta zabalera L - 2x. [0, L/2] tartean egongo da x (begiratu irudiari).

Kaxaren bolumena, x-en arabera, honako hauxe izango da:

V(x) funtzioak bolumena adierazten du; beraz, funtzio horren maximoa atera beharko dugu.

V-ren deribatua da. Funtzio horren zeroak ateratzen baditugu, ondokoa lortuko dugu:

Bigarren deribatua kalkulatuko dugu:

, beraz minimoa da (hori aldez aurretik ere bagenekien, puntuan kaxaren bolumena zero delako).

Gainera, beraz, maximoa da.

Horretatik guztitik, bolumena maximoa izan dadin, kaxaren dimentsioek honako hauek izan beharko dute:

Altuera = eta oinarriaren aldeak =

10.- Laukizuzen baten bi erpinak OX ardatzean daude eta beste biak kurbaren goialdean. Kalkulatu laukizuzen horren dimentsioak azalera maximoa izan dadin.

Laukizuzena OY ardatzarekiko simetrikoa da (kurba simetrikoa delako), beraz x > 0 gunea aztertzea nahikoa izango litzateke (begiratu irudiari).

Laukizuzen oinarriaren erdiari x deituko diogu eta, irudian ikusten dugun moduan, tartean dago.

Oinarriaren erdiari dagokion altuera da.

Beraz, laukizuzenaren azalera hauxe izango da:

.

S funtzio horixe maximizatu beharko dugu. Horretarako, funtzioa deribatu eta beraren zeroak aztertuko ditugu: