Gaiko ariketak
1.- Kalkulatu
a, b eta c koefizienteak f(x) = ax2 + bx + c funtzioaren grafikoa (1, 3) puntutik pasa dadin eta x – y + 1 = 0 zuzenarekiko ukitzailea izan
dadin (2, 3) puntuan.
Enuntziatutik ondorengo hau dugu:
f(1) = 3, f(2) = 3 eta f´(2) = 1 , y = x + 1 zuzen ukitzailea delako 2 abzisa-puntuan.
f´(x)
= 2ax + b da.
Ordezterakoan:
3
= a + b + c; 3 = 4a + 2b + c; 1 = 4a + b.
Sistema ebazterakoan, honela geratuko da:
a
= 1; b = -3; c = 5.
2.- Kalkulatu
a eta b koefizienteak f(x) = x3 + ax + b eta g(x) = x2 + 3x
funtzioek ukitzaile bera eduki dezaten 0 puntuan.
g
funtzioak g(0) = 0 eta g´(x)
= 2x + 3 direla betetzen du. Beraz, x
= 0 puntuan g-ren zuzen ukitzailea y – 0 = 3(x - 0) da. y
= 3x, alegia.
f-ren deribatua f´(x) = 3x2 + a da; beraz, f´(0)
= a eta horregatik dagokion
ukitzailea x = 0 puntuan y - f(0) = a(x - 0) izango da.
Bi zuzenek berdinak izan behar dutenez, ondokoa dugu:
a = 3 eta b = 0, f(0) = 0 izan dadin.
3.- f(x) = ebx funtzioarekiko tangentea den zuzen bat (0,
0) puntutik ere pasatzen da. Kalkulatu zein
x puntutan den tangentea.
f
funtzioa deribagarria da puntu guztietan eta f´(x) = b
ebx
da.
Dagokion ukitzailea x0 puntu batean
hauxe da:
y
- f(x0) = f´(x0)(x - x0) 
(x, y) = (0, 0) puntua
zuzenekoa izan dadila ezarri behar da, hau da,
.
4.- Aurkitu x2 + y2 = 1 zirkunferentziaren puntu batzuk ondoko hau
beteko dutenak hain zuzen: zirkunferentziarekiko duten zuzen ukitzailea (n, 0) puntutik pasatzen dela, n
eta n 
izanik.
y(x) = +
hartzen bada, deribatua y´(x) = 
da.
(x0, y0) zirkunferentziaren
puntu batean ukitzaileak ondorengo ekuazio hau izango du:
Horretaz gain, (n,
0) puntuak zuzenean egon behar du,
hau da:
.
x0
hori ordeztuz, 
geratuko da.
hartzen bada, egoera
simetrikoa da eta 
aterako da, 
balioarekin.
Hau da, n bakoitzerako bi soluzio egongo dira:
5.- Izan bedi f(x) = sin x
funtzioa. Zehaztu zeintzuk puntutako ukitzailea pasatuko den
koordenatu-jatorritik.
f(x) = sin x
funtzioaren zuzen ukitzaileak, x0 puntuan, ondoko ekuazio hau dauka:
sin´(x) = cos(x)
baita.
Koordenatu-jatorritik pasatzeko ondorengo hau bete beharko da:
Hau da, x0
= tan (x0 ) berdintza
betetzen dutenak dira bila gabiltzan puntuak.
6- Aztertu
funtzioaren
deribagarritasuna x = 1 puntuan.
Balio absolutuaren definizioa aplikatzerakoan, ondoko hau lortuko da:
Funtzioa jarraitua da x = 1 puntuan eta f(1) = 3 da.
Gehikuntza-zatidurak eskuinetik eta ezkerretik, ondorengoak:
Beraz, gehikuntza-zatiduren limitea ez da existituko
eta, horregatik, f ez da deribagarria x = 1 puntuan.
7.- Aztertu
funtzioaren
deribagarritasuna x = 0 puntuan.
g funtzioa jarraitua da x = 0 puntuan eta g(0) = 0.
Gehikuntza-zatidurak 0 puntuan hauexek dira:
horren limitea zero da, 
doanean.
Horregatik, g funtzioa deribagarria da x = 0 puntuan eta beraren deribatuaren
balioa puntu horretan 0 da.
8.- Aztertu
funtzioaren
deribagarritasuna x = 0 puntuan.
g
funtzioa jarraitua da x = 0
puntuan eta g(0) = 0 da.
Gehikuntza-zatidurak x = 0 puntun ondoko hauek dira:
eta honela geratuko dira:
Beraz, g ez da deribagarria x = 0 puntuan.
9.- Aztertu
ondoko funtzio honen deribagarritasuna koordenatuen jatorrian:
f funtzioak f(0) = 0 dela betetzen du eta, gainera, f-ren bi albo-limiteak 0 dira. Hau da, f jarraitua da x = 0 puntuan.
Gehikuntza-zatidurak x = 0 puntuan ondorengo hauek dira:
Horretaz gain,
Beraz, gehikuntza-zatiduren limitea existitzen da; hori dela eta, f deribagarria da x = 0 puntuan. Gainera, f´(0) = 1.
10.- Aztertu
koordenatu-jatorrian eta x = -1
puntuan ondoko funtzio honen deribagarritasuna:
x = 0 puntuan gehikuntza-zatidurak
hauexek dira:
eta ondokoa betetzen da:
horregatik, f ez da deribagarria x = 0 puntuan.
x = -1 puntuan gehikuntza-zatidurak
ondokoak dira:
Beraz, kasu horretan:
hau da, f deribagarria da x = -1 puntuan eta f´(-1) = -2 da.
11.- 
dela jakinda, aztertu
ondorengo funtzio honen deribagarritasuna:
Funtzioak f(0)
= 1 dela betetzen du eta gainera
horixe da funtzioaren ezker-limitea eta eskuin-limitea.
Beraz, f
jarraitua da x = 0 puntuan.
Gehikuntza-zatidurak hauexek dira:
Ondokoa beteko da: h < 0rako, h
0 denean, limitea zero dela;
eta h > 0rako:
beraz, funtzioa deribagarria da x = 0 puntuan eta deribatua f´(0) = 0 da.
12.- Aztertu
a-ren zeintzuk baliotarako den 
funtzioa deribagarria R osoan, 
dela jakinik.
Funtzioak f(0)
= 1 betetzen du eta gainera
jarraitua da x = 0 puntuan.
Gehikuntza-zatidurak x = 0 puntuan , ezkerretik eta eskuinetik, ondokoak dira:
Limitea –a da h
denean eskuinetik.
Horretaz gain, 
Beraz, f deribagarria da x = 0 puntuan, a-ren
balio guztietarako f´(0) = -a izanik.
Gainontzeko puntuetan ere funtzioa deribagarria da. Honela geratuko da:
13.-Aztertu
funtzioaren
deribagarritasuna a-ren balioen arabera.
f
funtzioak ondoko hau beteko du: f(0) = 
Ezker-limitea, x
= 0 puntuan, hauxe da: 
Funtzioa jarraitua izan dadin 
bete behar da; hau
da, 
.
Beraz, f funtzioa 
baliorako baino ez da
jarraitua. Ordeztuz, ondorengo hau geratuko da:
Gehikuntza-zatidura ezkerretik 1/2 da, eta
eskuinetik:
(hor 4. unitatean ebatzitako 9. ariketaren emaitza erabili dugu).
f jarraitua izateko balio bakarra 
da, baina balio
horretarako f ez da deribagarria. Hau da, f ez da deribagarria x =
0 puntuan a-ren balioa edozein dela ere.
14.- Aztertu zero puntuan 
funtzioaren
deribagarritasuna a eta b-ren balio ezberdinen arabera, 
dela jakinik.
denez, f
jarraitua da 0 puntuan.
Gehikuntza-zatidurak hauexek dira:
Beraz, gehikuntza-zatidurak ezkerretik a-rantz eta eskuinetik 1erantz doaz.
Hau da, x
= 0 puntuan f deribagarria izateko a = 1 izan behar da b edozein izanda.
15.- Aztertu,
a-ren balioen funtziopean, 
funtzioaren bigarren
deribatuaren existentzia zero puntuan.
f-ren lehenengo deribatua puntu
guztietan existitzen da, a-ren
edozein baliotarako. Horretaz gain,
Bigarren deribatua existitzeko x = 0 puntuan, ondorengo hau gertatu behar da:
Gainera, 
da (ikus 4. gaiko 9.
problema ebatzia) eta, beraz, a = 0
izan behar da.
16.- Aurkitu e2x
funtzioaren n-garren ordenako
deribatua.
f-ren lehenengo deribatuak
kalkulatuko ditugu:
Deribatuen eratze-legea hauxe dela ikusten da: